公共弦长是什么,画法 公共弦长是什么? 公共弦有什么性质公共弦长是几何学中描述两个圆相交时形成的公共弦长度的概念，具体指两个圆相交时连接两个交点的线段长度。下面内容为详细解析：一、定义与几何特性基本定义当两个圆相交时，它们的交点之间的连线称为公共弦，这条弦的长度即为公共弦长。若两圆仅有一个公共点（即相切），则该点称为公共切点而非公共弦。几何性质 两圆圆心连线（圆心距）垂直于公共弦，并平分公共弦。公共弦所在的直线方程可通过将两圆的方程相减得到。二、计算技巧技巧1：勾股定理法（几何法）步骤： 计算圆心距：设两圆圆心分别为\( (x_1, y_1) \)和\( (x_2, y_2) \)，圆心距\( d = \sqrt(x_2-x_1) + (y_2-y_1)} \)。 求圆心到公共弦的距离：利用相交弦定理，圆心到公共弦的距离\( h \)满足\( h = \fracd – (r_1 – r_2)}2d} \)。 计算弦长：公共弦长\( L = 2\sqrtr_1 – h} \)。示例：若两圆半径分别为\( r_1=5 \)、\( r_2=3 \)，圆心距\( d=4 \)，则公共弦长\( L=2\sqrt5 – (\frac4 – (5 – 3)}2 \times 4})} = 6 \) 。技巧2：联立方程法（代数法）步骤： 联立两圆方程，相减得到公共弦的直线方程。 求交点坐标：解方程组得到两交点坐标，再用两点间距离公式计算弦长。 示例：圆\( C_1: x + y – 2x + 10y -24 = 0 \)与圆\( C_2: x + y + 2x + 2y -8 = 0 \)相减得公共弦方程\( x – 2y +4 = 0 \)，解得交点后计算弦长\( 2\sqrt5} \) 。技巧3：公式直接法通用公式：若两圆半径分别为\( r_1 \)、\( r_2 \)，圆心距\( d \)，则公共弦长\( L = 2\sqrtr_1 – \left( \fracd + r_1 – r_2}2d} \right)} \) 。 独特情况：当两圆半径相等时，公式简化为\( L = 2\sqrtr – \left( \fracd}2} \right)} \) 。三、注意事项适用条件：仅当两圆相交时存在公共弦长（圆心距\( d < r_1 + r_2 \)且\( d > |r_1 – r_2| \)）。 计算误差：使用代数法时需注意方程解的正确性，几何法需确保圆心距和距离计算的精确性。通过上述技巧，可根据题目条件选择最便捷的方式求解公共弦长。若需实际应用，建议优先使用几何法或公式法以进步效率。